Introducción

Comenzaremos a pensar la evolución de la matemática en el siglo XX con un párrafo del E.T. Bell¹, donde creemos que se sintetizan algunas cuestiones: “Si las matemáticas del siglo XX difieren en forma importante de las del siglo XIX, posiblemente las distinciones más interesantes son un marcado aumento en la abstracción, con la consecuente ganancia en la generalización, y una preocupación creciente por la morfología y anatomía comparada de las estructuras matemáticas; un afianzamiento en la penetración crítica y el principio de la aceptación de las limitaciones que ofrece el razonamiento deductivo clásico. Si ‘limitaciones’ da idea de nulidad después de siete mil años de lucha humana para pensar claramente, esa idea es errónea. Pero es verdad que las valoraciones críticas del razonamiento matemático aceptado, lo que se acusa en las primeras cuatro décadas del siglo XX, han necesitado revisiones extensas de las matemáticas anteriores e inspiraron muchos trabajos nuevos de profundo interés, tanto para las matemáticas como para la epistemología. También condujeron a lo que parece ser el abandono definitivo de la teoría que sustenta que las matemáticas son una imagen de la Verdad Eterna”.

Algunas de las cuestiones que más han influido en la investigación matemática del siglo XX son: los 23 problemas propuestos por Hilbert en el Congreso de París de 1900, que constituyeron un desafío constante para los matemáticos.

David Hilbert (1864-1943), matemático alemán que tuvo mucha importancia en la escuela de su país durante la primera mitad del siglo XX. Sus Fundamentos de Geometría (1899) constituyen una obra fundamental para la axiomática moderna. La actividad científica de Hilbert puede dividirse en seis períodos: hasta 1893 (en Königsberg), formas algebraicas; 1894-1899, teoría algebraica de números; 1899-1903, fundamentos de la geometría; 1904-1909, análisis (principio de Dirichlet, cálculo de variaciones, ecuaciones integrales, problema de Waring); 1912-1914, física teórica; después de 1918, fundamentos de la matemática.

David Hilbert (1862-1943) comenzó su discurso en el Primer Congreso Internacional de Matemáticas, celebrado en París, en 1900, con las siguientes palabras:

"¿Quien de nosotros no quisiera levantar el velo tras el cual yace escondido el futuro, y asomarse, aunque fuera por un instante, a los avances de nuestra ciencia y a los secretos de su desarrollo ulterior en los siglos futuros? ¿Cuáles serán las metas particulares que tratarán de alcanzar los líderes del pensamiento matemático de las generaciones futuras? ¿Qué nuevos métodos y nuevos hechos nos depararán los siglos por venir en el ancho y rico campo del pensamiento matemático?"²

Los 23 problemas planteados por Hilbert en el primer Congreso de Matemática realizado en 1900 fueron:

1. Problema de Cantor sobre el cardinal del continuo.
2. La compatibilidad de los axiomas de la aritmética.
3. La igualdad de los volúmenes de dos tetraedros de igual base e igual altura.
4. El problema de la distancia más corta entre dos puntos. ¿Es la línea recta la distancia más corta entre dos puntos, sobre cualquier superficie, en cualquier geometría?
5. Establecer el concepto de grupo de Lie³, o grupo continuo de transformaciones, sin asumir la diferenciabilidad de las funciones que definen el grupo.
6. Axiomatización de la física. ¿Es posible crear un cuerpo axiomático para la física?
7. La irracionalidad y trascendencia de ciertos números como e, 2v2, etc.
8. El problema de la distribución de los números primos.
9. Demostración de la ley más general de reciprocidad en un cuerpo de números cualesquiera.
10. Establecer métodos efectivos de resolución de ecuaciones diofánticas.
11. Formas cuadráticas con coeficientes algebraicos cualesquiera.
12. La extensión del teorema de Kronecker⁴ sobre cuerpos abelianos a cualquier dominio de racionalidad algebraica.
13. Imposibilidad de resolver la ecuación general de séptimo grado por medio de funciones de sólo dos argumentos.
14. Prueba de la condición finita de ciertos sistemas completos de funciones.
15. Fundamentación rigurosa del cálculo enumerativo de Schubert o geometría algebraica.
16. Problema de la topología de curvas algebraicas y de superficies.
17. La expresión de formas definidas por sumas de cuadrados.
18. Construcción del espacio de los poliedros congruentes.
19. Las soluciones de los problemas regulares del cálculo de variaciones, ¿son siempre analíticas?
20. El problema general de condiciones de contorno de Dirichlet⁵.
21. Demostración de la existencia de ecuaciones diferenciales lineales de clase fuchsiana, conocidos sus puntos singulares y grupo monodrómico.
22. Uniformidad de las relaciones analíticas por medio de funciones automórficas: siempre es posible uniformizar cualquier relación algebraica entre dos variables por medio de funciones automorfas de una variable.
23. Extensión de los métodos del cálculo de variaciones.

Su disertación comenzó mencionando dos famosos problemas no resueltos: el último teorema de Fermat⁶ y el problema de los tres cuerpos, y explicando cómo el intento por resolverlos condujo a Kummer⁷ a introducir los números ideales y a Poincaré⁸ a desarrollar la mecánica celeste.

Hilbert presentó sus 23 problemas tratando de orientar a los matemáticos de nuestra época; algunos aún permanecen sin resolver, algunos fueron reformulados, pero todos fueron impulso para el trabajo de los matemáticos del siglo XX.

¹E.T Bell. (1995), Historia de las matemáticas, Fondo de Cultura Económica.
²La conferencia completa de Hilbert puede encontrarse en: http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html
³Sophus Lie (1842-1899), matemático noruego.
⁴Leopold Kronecker (1823-1891), matemático alemán.
⁵Gustav Dirichlet (1805-1859), matemático alemán.
⁶Pierre Fermat (1601-1655), matemático francés cuyos trabajos fueron el origen del cálculo infinitesimal que, poco después de su muerte, descubrirían Leibniz y Newton.
⁷Ernst Kummer (1810-1893), matemático alemán.
⁸Henri Poincaré (1854-1912), matemático francés. Realizó importantes estudios sobre la teoría de funciones.