Matemática: el lenguaje de la física

La matemática es el lenguaje de la física.

Por ejemplo, la mecánica clásica de un sistema de N partículas puede describirse por 3N ecuaciones diferenciales acopladas. Las ecuaciones de Maxwell describen relaciones entre divergencias y rotores de los campos eléctricos y magnéticos y las cargas y corrientes que los producen. En mecánica cuántica no relativista, la ecuación de Schroedinger es una ecuación diferencial en derivadas parciales para la función de onda de la partícula, cuyo módulo al cuadrado da la densidad de probabilidad de encontrarla en determinada posición y en determinado instante de tiempo. La herramienta necesaria para la relatividad general es la geometría diferencial, que permite expresar las deformaciones del espacio tiempo en términos del tensor métrico y su tensor de curvatura asociado. La métrica del espacio tiempo es a su vez determinada a través de las ecuaciones de Einstein, que consisten en un sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

Pero no hay que perder de vista el hecho de que utilizamos las matemáticas para modelar una situación física, y que necesariamente nuestra descripción de un fenómeno natural es aproximada. En muchos cursos de física (en escuelas medias e incluso en las universidades) este aspecto no es suficientemente enfatizado. Las leyes físicas se presentan como si fuesen exactas, al mismo nivel que un teorema matemático. Los estudiantes se limitan a resolver guías de problemas a partir de fórmulas deducidas de dichas leyes. Cuando se utiliza esta metodología, se corre una serie de riesgos que pueden llevar a resultados negativos en la formación del estudiante:

• se pierde la noción del carácter empírico (y por lo tanto aproximado) de todas las leyes físicas. Pocas veces se enfatiza, por ejemplo, que la ley de gravitación universal ha sido verificada experimentalmente con mucha precisión sólo para distancias de entre 1 cm y 10¹⁷ cm. Y que además se sabe que debe corregirse apreciablemente cuando GM/Rc² se acerca a uno. El mismo comentario se aplica a la validez del carácter lineal de la fuerza de un resorte, de la ley de Ohm, etc.
• el estudiante memoriza ciertas fórmulas y su capacidad para aprobar un examen típico se reduce a elegir la fórmula que debe utilizar para resolver el problema.
• no se enfatiza ni se ejercita el método científico, hecho que debería ser una de las principales actividades durante la enseñanza de las ciencias en las escuelas.

Para ejemplificar cómo puede enfatizarse el carácter aproximado de las leyes y/o de las descripciones utilizadas discutamos algunos ejemplos bien conocidos:

“En las cercanías de la Tierra, en vacío, los cuerpos caen con la misma aceleración 9.8m/seg²”.

De acuerdo con la ley de gravitación universal, la aceleración de un objeto depende de la altura a la que se encuentra. Esa dependencia es muy chica si nos restringimos a las “cercanías” de la superficie terrestre. Por otra parte, como la Tierra es achatada en los polos, la aceleración de la gravedad también depende de la posición geográfica. Accidentes geográficos locales, una montaña por ejemplo, también tienen una leve influencia sobre la aceleración.

Si se realizara un experimento concreto de caída libre con dos objetos de forma idéntica y distinta masa, sin hacer vacío (tal como lo realizó Galileo) se encontraría que soltando los cuerpos desde una cierta altura estos no llegarían al piso al mismo tiempo. La fuerza de rozamiento y el empuje del aire introducirían diferencias. Estas pueden ser más o menos importantes, dependiendo de la masa y el volumen de los objetos, por ejemplo ¡un globo de helio sube en lugar de caer!.

La Tierra es además un sistema no inercial, por lo que el movimiento de los objetos lanzados desde su superficie debe corregirse por las fuerzas inerciales (centrífuga y de Coriolis).

Todos los fenómenos anteriores pueden explicarse en el marco de la física clásica. Pero el movimiento de caída libre también tiene, en principio, correcciones relativistas.

“De acuerdo con la primera ley de Kepler, las órbitas de los planetas son elipses con el Sol en uno de sus focos”.

Aun en el marco de la física newtoniana, esta afirmación es aproximada. En primer lugar, el Sol y el planeta describen elipses con el centro de masas en uno de sus focos. En segundo lugar, el Sol y el planeta no son perfectamente esféricos ni indeformables, por lo tanto las órbitas dejan de ser exactamente elipses. Finalmente, la presencia de otros astros también modifica las órbitas. Todos estos aspectos pueden ser tenidos en cuenta con la ley de gravitación universal de Newton. Sin embargo, tal como demostró Einstein al formular su teoría general de la relatividad, esta ley también debe ser modificada. Las trayectorias resultantes de un único planeta y el Sol son elipses que van precediendo lentamente (43 segundos de arco por siglo en el caso de Mercurio). Ambas órbitas se van achicando como consecuencia de la emisión de ondas gravitacionales. Estos fenómenos son poco apreciables para los planetas del sistema solar (este es el motivo por el cual Kepler y Newton no los “vieron”). Pero si las velocidades son más altas y/o los campos gravitacionales más intensos los fenómenos son mucho más apreciables, como en los sistemas de estrellas binarias.

“De acuerdo con la ley de Ohm, la corriente que circula por una resistencia es proporcional a la diferencia de potencial aplicada”.

Al aplicar una diferencia de potencial a una porción de material comienza a circular corriente. Si se grafica V vs I, el resultado es típicamente bastante bien aproximado por una recta a corrientes bajas. Sin embargo, deja de serlo a corrientes mayores. Este fenómeno puede verificarse fácilmente midiendo experimentalmente V e I para distintos valores de V sobre una lámpara. Existen otros materiales para los cuales la curva no es recta ni siquiera a bajas corrientes, como por ejemplo las junturas p-n (utilizadas en diodos y transistores).

Consideraciones similares se aplican a la ley de fuerzas de un resorte, o más genéricamente en teoría de deformaciones al cambio de longitud de un objeto cuando se lo somete a tensiones.

“La masa se conserva. En una reacción química la masa de los reactivos es igual a la masa de los productos”.

La validez de esta ley fue cuestionada a partir del trabajo de Einstein de 1905, donde mostró que es posible transformar masa en energía y viceversa. Por supuesto esta conversión es poco apreciable en la vida cotidiana, y también es pequeña en reacciones químicas. Se vuelve mucho más relevante en reacciones nucleares, y de hecho es el motivo por el cual puede liberarse energía en procesos de fusión y fisión nuclear.

Los ejemplos anteriores muestran el carácter aproximado de las leyes físicas, y su diferencia con los teoremas o igualdades matemáticas. Sería muy útil que los estudiantes aprecien claramente este contraste.